Социокультурные и метафизические круги и их преодоление в развитии математики

Социокультурные и метафизические круги и их преодоление в развитии математики

Стили в математике: социокультурная философия математики. Под ред. Барабашева А.Г. Санкт-Петербург, РХГИ, 1999. с.353-374.

Несколько лет назад, выступая на одном из заседаний Всероссийского семинара по философии математики, я говорил о «социокультурных запретах», препятствовавших возникновению математических теорий на тех или иных этапах развития математики. В качестве примера приводились три выс­казывания Аристотеля: «О случайном не может быть знания через доказа­тельство», «Актуально-бесконечного не существует», «Математические науки чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астроно­мии». Я утверждал, что эти слова характеризуют тот социокультурный (и/ или, метафизический) контекст развития греческой математики, в рамках которой не могли возникнуть такие теории как теория вероятностей, анализ бесконечно малых и теория геометрических преобразований на плоскости и в пространстве, хотя соответствующий уровень развития математики (математической техники) и имевшиеся проблемы делали возникновение упо­мянутых теорий вполне вероятным. Речь разумеется не шла о том, что фи­лософия в лице Аристотеля «запрещала» возникновение математических теорий, на самом деле Аристотель лишь констатировал сложившийся социокультурный контекст развития математики, признававшийся, по всей видимости, и теми учеными, которые будучи математиками-профессионалами стояли достаточно далеко от метафизических дискуссий того времени. Однако само выражение «социокультурные запреты» вызвало достаточно резкие возражения вследствие предполагаемой им жестко детерминированной взаимосвязи между социокультурным контекстом и фактическим разви­тием математики. Эти возражения показались мне в достаточной мере спра­ведливыми по двум причинам. Во-первых, существуют историко-математические факты (например, математическая деятельность Демокрита), кото­рые свидетельствуют о том, что «социокультурные запреты» не обладают непререкаемым авторитетом, и, во-вторых, преодоление социокультурных ограничений часто бывает обусловлено не столько изменениями социокультурного контекста, сколько существенно внутриматематическими причинами.

Более подходящим термином (или более удачной метафорой) в контексте этих размышлений представляется понятие «круга» (социокультурного и/или метафизического), введенное выдающимся французским математиком А. Гротендиком в его философско-математическом эссе «Урожаи и посевы. Размышления о прошлом математика». Остановимся на его идеях несколько подробнее.

По мнению Гротендика, большинство математиков ограничивают себя жесткими понятийными рамками, затворившись во Вселенной, обустроен­ной раз и навсегда, а именно в том универсуме, который они нашли тогда, когда принимались за свои научные изыскания. Получив в наследство боль­шой, красиво обустроенный математический дом со всеми удобствами, гостиными, кухнями, мастерскими и общедоступными инструментами, они и не задумываются, почему и как были задуманы и изготовлены инструменты, которыми они пользуются, почему комнаты размещены и благоустроены так, а не иначе (1). При этом Гротендик замечает, что подобная ситуация не является специфичной лишь для математики. С подобным положением дел можно столкнуться в любой из сфер человеческой деятельности с незапамятных времен.

Но существуют математики, к числу которых Гротендик (и, надо сказать, не без оснований) относит и себя самого, чьим призванием является беспрестанная жажда строительства новых домов. И как бы прекрасно и гармонич­но не были устроены имеющиеся вселенные, этим ученым претит дальней­шее благоустройство построенных трудами предшественников (или даже ими самими) математических дворцов, они стремятся к открытию новых, непривычных миров. К такого типа математикам Гротендик относит прежде всего Галуа, Римана и Гильберта. Среди своих современников Гротендик причисляет к их числу одного из своих учителей Ж. Лере.

Говоря о математиках, не принадлежащих к числу избранных, Гротендик отмечает, что им часто удавалось получать значительные, порой очень красивые результаты, однако эти результаты находились в рамках уже завершен­ного контекста. Эти ученые, не подозревая о том, так и остались узниками «кругов невидимых и властных», установленных в качестве своеобразных границ для математической Вселенной в данную эпоху и в данной среде. Они и не помышляли о том, чтобы затронуть эти границы. Для того чтобы пере­ступить их, считает Гротендик, ученый должен был бы вновь обрести даро­ванную ему при рождении способность быть одному (2). Другими словами, способность самостоятельно анализировать проблемы, не доверяя вербально или по умолчанию общепринятым представлениям, способность не становиться добровольным узником тех кругов, которые в каждую эпоху огра­ничивают горизонт творчества. В процессе познания Вселенной (в том числе и ее «математического среза»), утверждает Гротендик, только невинность, и ничто другое, наделяет нас реформаторской властью. Это та первоначальная невинность, которая дана человеку от рождения, которая порой неявно оби­тает в каждом из нас, являясь зачастую объектом нашего же презрения и тай­ного страха. Одна лишь невинность, по убеждению Гротендика, объединяет смирение и смелость, благодаря которым человек оказывается способным проникнуть в суть «вещей», и, с другой стороны, проникнуться ими, впустив их внутрь себя. Эта власть (а отнюдь не особый «дар», подобный исключи­тельной способности рассудка усваивать и управляться легко и ловко с ог­ромной массой известных идей, технических приемов и фактов, а также и не честолюбие, поддержанное непреклонной волей к успеху) позволяет пере­шагнуть «круги невидимые, но властные», ограничивающие наш творческий горизонт. Это преодоление часто не вполне осознается именно благодаря осуществляющей его невинности.

Но какова природа этих кругов, о которых говорит французский матема­тик? Отмечая наиболее важные темы своего математического творчества, Гротендик заявляет, что каждая из них является воплощением единого широкого видения, которое может быть обозначено как новая геометрия. «Новиз­на» этой геометрии заключается в обеспечении синтеза двух миров, до ее появления хотя и тесно взаимосвязанных друг с другом, но все же отдель­ных, различных: мира «арифметического» и мира непрерывных величин. В «новой геометрии» эти два мира, некогда отдельные, сливаются в один, сме­тая существовавшие ранее границы. При этом идею топоса, стоящую в цен­тре «новой геометрии», Гротендик рассматривает как свидетельство фунда­ментального изменения наших представлений о пространстве. Дело в том, что до появления понятия топоса (конец 50-х годов) эволюция представлений о пространстве происходила в рамках природы самой непрерывности. И лишь идея топоса охватила в общетопологической интуиции как традицион­ные топологические пространства, олицетворяющие мир непрерывных вели­чин вместе с многообразиями («пространствами») абстрактной алгебраи­ческой геометрии, так и бесконечное множество структур другой природы, до тех пор считавшихся принадлежащими миру арифметическому («дискрет­ные» или «разрывные» системы). Показательно, что Гротендик сравнивает появление новой геометрии с возникновением теории относительности Эй­нштейна прежде всего потому, что обе концепции демонстрируют фунда­ментальное изменение наших представлений о пространстве (соответственно о «математическом» и «физическом» пространстве), а также из-за того, что эти концепции охватывают в едином видении множество ситуаций, ранее воспринимавшихся совершенно изолированно друг от друга. Продолжая сравнение с развитием современной физики, Гротендик указывает на кванто­вую механику, в которой материальная точка классической физики уступает место «вероятностному облаку», что символизирует еще более, чем у Эйн­штейна, фундаментальное изменение самого способа восприятия явлений. Другими словами, круги, ограничивающие горизонт мышления ученого и преодолеваемые учеными-первооткрывателями, имеют преимущественно метафизическую природу (представления о пространстве, времени и т.п.). Кроме того, очень часто можно говорить об укорененности этих метафизических представлений в социокультурном контексте развития науки.

Следует отметить, что выявление социокультурных и метафизических кругов и анализ процесса их преодоления в развитии науки затруднены на­столько, насколько близко находится исследователь к рассматриваемому им фрагменту истории науки. И это не является удивительным, ведь мы сами зачастую являемся пленниками предрассудков, унаследованных от не столь отдаленных времен, что, разумеется, не способствует адекватному их выявлению и характеризации. Поэтому вернемся к анализу ситуаций, упомянутых в начале данной статьи.

В письмах, впервые опубликованных в Тулузе в 1697 г., как Паскаль, так и Ферма неявным образом пользовались такими фундаментальными теорети­ко-вероятностными представлениями, как зависимость и независимость со­бытий, теоремами сложения и умножения вероятностей (не определяя еще самого понятия «вероятность»). Было введено также и такое важное понятие будущей теории вероятностей, как математическое ожидание случайного события (в данном случае выигрыша в игре).

Еще до опубликования этих писем, примерно в 1656—1657 гг., Гюйгенс, узнавший о том, что такие корифеи новой математики, как Ферма и Паскаль, серьезно заняты задачей на разделение ставки, подключился к этим исследованиям и в 1657 г. опубликовал работу «О расчетах в азартной игре» — пер­вое увидевшее свет сочинение по теории вероятностей. В предисловии к это­му изданию можно прочитать следующие примечательные строки: «Чем более трудной является задача определения при помощи рассуждений того, что кажется неопределенным и подчинено случаю, тем более наука, которая достигает результата, представляется удивительной. Во всяком случае, я пола­гаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интерес­ной и глубокой теории (курсив мой. —А. Г.)» (3). Значение этой небольшой работы Гюйгенса трудно переоценить. И не случайно, что первая часть рабо­ты Я. Бернулли «Искусство предположений», появление которой знаменует окончательное становление новой теории, представляет собой перепечатку и тщательный комментарий упомянутой работы Гюйгенса.

Таковы вкратце историко-научные факты, из которых следует вывод о том, что становление теории вероятностей как науки происходило во второй половине XVII в. (основные теоретико-вероятностные результаты были получены Я. Бернулли в 90-х гг. XVII столетия) (4). В связи с этими фактами интерес­но было бы разобраться в таком вопросе: является ли возникновение матема­тической науки о случайном именно в XVII в. «случайным событием»? Пра­вомерность этого вопроса обусловлена, с одной стороны, достаточно высо­ким уровнем развития математики в античности, а с другой стороны, имею­щимися сведениями о распространенности как в античности, так и позднее, азартных игр, послуживших в XVII в. источником первых теоретико-вероят­ностных проблем. Можно ли предположить, что, сумей какой-либо любитель азартных игр в античности (вроде вошедшего в историю теории вероятностей кавалера де Мере) привлечь внимание крупных математиков своего времени к задачам на разделение ставки, то наука о случайном могла бы возникнуть намного раньше, чем это произошло на самом деле? Подобное предположе­ние нельзя отметать с порога и потому, что для античности характерно при­стальное внимание к проблемам необходимости и случайности, возможно­сти и действительности.

Одним из первых философов античности, рассмотревших проблему необходимого и случайного был Демокрит. Следует отметить, что реконструкция его позиции затруднена ввиду большого количества зачастую противоречи­вых сведений поздних авторов, которые характеризуют точку зрения Демок­рита по этой проблеме. Уже само по себе такое многообразие мнений говорит о том, что проблема случайного отнюдь не относилась к маргинальным проблемам античной философии.

Проблема необходимости и случайности занимает одно из центральных мест в философской системе Аристотеля. Философ предваряет изложение своей точки зрения обзором мнений предшественников и современников. «Некоторые сомневаются, существует случай или нет. Они утверждают, что ничего не происходит случайно, но что есть некоторая определенная причи­на для всего того, относительно чего мы говорим, что оно произошло спон­танно и случайно... Но и вот что удивительно: многое и происходит и суще­ствует случайно и спонтанно; эти мудрецы хорошо знают, что каждое [из этих событий] можно свести к какой-нибудь причине возникновения, как го­ворит древняя теория, отрицающая случай, и тем не менее часть [этих собы­тий], по мнению всех людей, происходит случайно, а часть — неслучайно» (5). Примечательно, что здесь Аристотель считает своим долгом соотнести точ­ку зрения философов со здравым смыслом — «мнением всех людей». И не случайно, что точка зрения самого Аристотеля в снятом виде включает в себя «философию здравого смысла». «Уничтожение случая, - пишет Аристотель, — влечет за собой нелепые последствия. Есть многое, что соверша­ется не по необходимости, а случайно... Если в явлениях нет случая, но все су­ществует и возникает из необходимости, тогда не пришлось бы ни совещать­ся, ни действовать для того, чтобы, если поступить так, было одно, а если иначе, то не было этого» (6). Подобная взвешенная точка зрения, признающая как необходимость, так и случайность, вряд ли преобладала в античности. Большинство античных мыслителей скорее были бы солидарны со Стобеем, утверждавшим, что «люди измыслили идол [образ] случая, чтобы пользовать­ся им как предлогом, прикрывающим их собственную нерассудитель­ность» (7). Демокриту приписывается тождественное по смыслу высказывание: «Люди сотворили себе кумир из случая как прикрытие для присущего им не­домыслия» (8).

В целом философско-методологические представления, так или иначе связанные с теоретико-вероятностными рассуждениями, их значимостью и статусом, можно разделить на три большие группы. Первая гpyппa пред­ставлений — назовем их онтологическими — отвечает на вопросы о приро­де случайного, его месте в структуре реальности, о взаимоотношении слу­чайного и необходимого. Вторая группа представлений отвечает на вопросы теоретико-познавательного характера (гносеологические представления). (Возможно ли, и если да, то при каких условиях достижение абсолютно досто­верного знания? Имеет ли ценность для науки и философии знание, не обла­дающее абсолютной достоверностью? Каков статус так называемого вероят­ного знания?) Третья группа представлений — методологические представленная — связаны с характеризацией самой теории вероятностей, выявлением ее места в системе научного знания, определением ее предмета, критериев истинности теоретико-вероятностных утверждений и т. п.

Можно показать, что отличия гносеологических представлений, господствовавших в античности, от возникших в рамках философии и науки Нового времени, позволяют понять причины как отсутствия науки о случайном в ан­тичности (и средневековье), так и ее возникновения и бурного развития в ХVII—ХVIII вв.

Для античной философской традиции характерна принципиальная дихо­томия между знанием (episteme) и мнением (doxa). При этом под знанием понималась система абсолютно достоверных (истинных) утверждений, доказанных по образцу евклидовой геометрии (с соблюдением требований евклидовой строгости — утверждения выводятся из очевидных аксиом). Достижение достоверного знания, описывающего ту или иную область материи или духа, объявлялось единственной целью науки. За рассуждениями же, которые не удовлетворяли критериям доказательства геометрического типа, не признавали статуса научности. Выводы, связанные с подобными рассуждениями, относили к разряду мнения. Согласно Аристотелю, «пред­мет знания и знание отличаются от предмета мнения и от мнения, ибо зна­ние направлено на общее и основывается на необходимых [положениях]; необходимое же есть то, что не может быть иначе. Многое же, хотя и истин­но и существует, но может быть иным. Ясно поэтому, что о нем нет на­уки» (9).

Очевидно, что в рамках такой гносеологической позиции невозможно представить себе возникновение науки о случайном, ибо оно не есть то, «что не может быть иначе». Это справедливо даже в том случае, если случайности придается статус объективного существования, что, как мы видели, имеет место у Аристотеля.

Именно Аристотель, как никто другой, убеждает нас в том, что в условиях господства античных гносеологических представлений о достоверности знания, становление теории вероятностей как науки было невозможным. Признание объективности случая не могло навести Аристотеля на мысль о необходимости науки о случайном потому, что он резко «противопоставил логику истины, свойственную теоретическому знанию, логике вероятного и правдоподобного, присущей случайным спорам и обыденной практике» (10). «О случайном или преходящем, — писал Стагирит, — нет знания через дока­зательство... Если случайное... не есть ни то, что бывает большей частью, ни необходимое, то для него не может быть доказательства» (11).

Средневековая европейская философия, основывавшаяся на теологичес­ки переработанной концепции Аристотеля, также не допускала возможности существования знания, не обладающего чертами абсолютной достоверности, завершенности, окончательности. Соответственно этому и в Средние века случайность, вероятность не стали объектом научного исследования, несмотря на то, что в трудах схоластов нашли место интересные философские рас­суждения о природе случайного.

Любопытно, что в Средние века (начиная с X—XI вв.) в связи с распростране­нием азартных игр, с использованием игральных костей в различных рукописях встречаются подсчеты количества различных исходов при их бросании. Более того, в 1494 г. в Венеции был издан труд Луки Пачоли (1445 — ок. 1514г.) — «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональ­ности», в котором рассматриваются, в частности, задачи о справедливом раз­деле ставки между двумя игроками, когда игра прервана до того, как один из играющих выиграл определенное число партий или очков согласно условиям игры. Однако в отличие от Паскаля и Ферма, рассматривавших подобные зада­чи в XVII в., Пачоли пытался решать их без использования вероятностных сооб­ражений (позднее предложенные им решения были признаны неверными) (12).

Таким образом, задачи, решение которых в XVII в. привело к возникнове­нию теории вероятностей, в условиях отсутствия соответствующих гносеоло­гических предпосылок не сыграли той роли, которую им предстояло сыграть позднее. Более того, гносеологический пласт философско-методологических представлений о случайном лишь препятствовал возникновению науки о слу­чайном — теории вероятностей.

Но за счет чего был преодолен этот круг? Как показывает анализ, прежде всего вследствие вполне определенных социокультурных и соответствующих им метафизических метаморфоз.

«Новый Органон» Бэкона в качестве новой гносеологической позиции, противостоящей перипатетизму, не снимал противопоставления «знание — мнение» в аристотелевском смысле. Однако у Бэкона нет пропасти между episteme и doxa. Напротив, достижение абсолютно достоверного знания «форм» связывается Бэконом с постепенным преобразованием данных опы­та из области мнения в сферу знания посредством разработанных им проце­дур индуктивного метода. Исследовательская программа Бэкона стала про­граммой созданного в 1660 г. Лондонского королевского общества.

Однако на пути реализации указанной программы члены Королевского общества столкнулись со значительными трудностями. Исследовательская практика навязывала убеждение в том, что максимально достижимый результат в опытном естествознании — это хорошо обоснованная гипотеза. В дальнейшем эта гипотеза может уточняться за счет привлечения новых фактов, степень ее обоснованности может повышаться, при этом, однако, никог­да не достигая уровня достоверности в аристотелевском смысле. Из этой ситуации может быть два выхода: устремиться по пути, указанному скептиками; и воздержаться от научных суждений или переосмыслить само понятие достоверности. Члены Королевского общества выбирают второй путь.

Надо отметить, что на становление вероятностных аспектов гносеологии членов Королевского общества существенное влияние оказали философско-методологические воззрения Декарта (13). В свете принципиальных отличий декартовского рационализма от английского эмпиризма сам факт упомяну­того влияния как нельзя лучше характеризует торжество вероятностной гно­сеологии XVII — начала XVIII вв.

Согласно Декарту, абсолютно достоверное знание возможно лишь о том, что полностью подчинено сознанию. Это — знание, удовлетворяющее кри­териям ясности и отчетливости для разума и ограниченное пределами мате­матики (в частности, созданной Декартом аналитической геометрии) и метафизическими истинами типа cogito ergo sum. Физический мир, однако, недоступен для абсолютно достоверного познания. Физическое познание, убеж­ден Декарт, — это сфера более или менее вероятных гипотез, следствия из которых должны согласовываться с опытом, хотя последнее не гарантирует их абсолютной истинности. Предельно достижимый уровень достоверного в сфе­ре опытного естествознания — это уровень моральной достоверности, «дос­таточный для того, чтобы управлять нашими нравами при равной достовер­ности вещей, в которых мы обычно не сомневаемся, касательно правил нашего поведения, хотя и знаем, что в смысле абсолютном эти правила могут быть и неверны» (14). Любопытно, что Р. Бойль, находившийся под влиянием идей де­картовского гипотетизма, полагал, что моральная достоверность достижима на пути согласования или соединения нескольких вероятных суждений (15).

Проблемы сравнения гипотез по их большей или меньшей вероятности, оценки вероятности гипотезы, полученной на основе соединения или согласования двух иди нескольких вероятных гипотез, численной оценки вероят­ности морально достоверной гипотезы, поставленные в связи со становлени­ем новой, вероятностной гносеологии, настоятельно требовали создания, с одной стороны, соответствующего математического аппарата для необходи­мых вычислений, и, с другой стороны, построения основ новой, вероятност­ной логики научного познания. Необходимость создания вероятностной ло­гики вскоре была зафиксирована Лейбницем, также испытавшим существен­ное влияние картезианства. «Я уже не раз говорил, — писал Лейбниц в «Но­вых опытах о человеческом разумении...», — что нужен новый раздел логи­ки, который занимался бы степенями вероятности, так как Аристотель в сво­ей «Топике» ничего не дал по этому вопросу» (16).

Таким образом, для создания вероятностной логики оказалось необходи­мым возникновение математической науки об «оценке случайностей», или исчисления (теории) вероятностей. При этом просто и ясно сформулированные и в то же время достаточно содержательные (в свете целей исчисления вероятностей) задачи, связанные с азартными играми, стали стартовыми про­блемами для становления новой теории.

Отметим, что вероятностный круг был абсолютно невидим для античных математиков, они не осознавали в этом отношении какого-либо запрета или ограничения, препятствующего их научным исследованиям. Это справедли­во потому, что данный круг носил исключительно внешний относительно математики характер. Социокультурные основания теоретического знания античности предопределили невозможность появления не только каких-либо вероятностных понятий, но и вообще каких-либо научных проблем, при ре­шении которых такие понятия могли понадобиться. Другими словами, ни одному из античных математиков и в голову не могло прийти рассматривать какую-либо проблему, включающую какие-либо аспекты понятия «случай­ного». Естественно, что преодоление этого круга произошло без каких-либо сверхусилий со стороны математиков. Более того, становление вероятностной гносеологии Нового времени, её укорененность в социокультурном кон­тексте теоретического знания существенным образом подталкивало матема­тиков к разработке необходимого математического аппарата для создания казавшейся крайне необходимой вероятностной логики.

Другой характерный пример. Со времени открытия Менехма античные математики понимали, что при пересечении конуса плоскостями под различными углами наклона последовательно появляются все конические сечения. Однако это не могло служить основанием для объединения данных кривых в один род. В своем трактате о конических сечениях Апполоний, стараясь да­вать единые доказательства ряда общих свойств (разумеется далеко не всех) конических сечений, пользуется соображениями, связанными с так называе­мым «методом площадей», а не с представлениями о преобразовании этих геометрических образов друг в друга.(3десь, разумеется стоит упомянуть и о третьем круге античной математики («Актуально бесконечного не суще­ствует»), о которым будет идти речь ниже. Не случайно Харди, говоря о про­ективной геометрии Дезарга, отмечал что она знаменует первое в истории введение актуальной бесконечности в математику. Ведь именно введение бесконечно удаленных точек и прямых позволили Дезаргу говорить о непре­рывном изменении геометрических образов, возникающих при пересечении конуса плоскостью под разными углами наклона.)