Lubishvk doc Конспект книги



бет4/18
Дата18.06.2016
өлшемі1.86 Mb.
түріКонспект
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18

3. Линии в математике

3.1. Математические достижения древних греков составляют величайшее украшение античной культуры. Рассмотрение целесообразно вести, разбирая последовательно следующие вопросы:



  1. связь эллинской культуры с предшествовавшими;

  2. спедифичность эллинской культуры;

  3. положительный вклад в науку обеих школ: идеалистической и материалистической;

  4. методический вклад тех же школ;

  5. возможность заимствования или плагиата идеалистами достижений материалистической школы;

  6. связь с философией органического, а не личного характеру;

  7. личный вклад по сравнению с достижениями школ;

  8. связь с практикой;

  9. связь с религией;

  10. связь с политикой.

Главными предшественниками эллинской математики были Египет и Вавилон, а также Финикия. Культуры проникали в Элладу через Персию, которой были подчинены малоазиатские колонии греков.

Математикой занимались виднейшие натурфилософские школы: 1) ионийская (VII-VI вв. до н.э.); 2) пифагорейская (VI-V вв. до н.э.); 3) афинская второй половины V в. до н.э.). Прямой преемницей афинской школы была 4) александрийская школа, где математика достигла высшего развития.

Все эти школы были связаны между собой: Пифагор по рождению (о. Самос) был ионийцем, близким соседом центра ионийской школы, Милета; переехав в Южную Италию, он создал там свою школу, теснейшим образом связанную с афинской, а эта последняя дала александрийскую школу.

Демокрит и Платон, были хорошо знакомы с вавилонской и. египетской культурами как по своему воспитанию, так и во время своих путешествий.

Из перечисленных школ только первая считается представительницей примитивного материализма, остальные три - ясно выраженного идеалистического характера.

\072\


Об особой школе или направлении Демокрита в математике упоминается лишь вскользь. Рассматривая историю античной математики, мы получаем впечатление, что за период её наилучшего развития не идеализм отступил перед материализмом (как многие думают), а наоборот, материализм - перед идеализмом.

3.2. Перейдем к специфичности эллинской математики. Этот вопрос не вызывает спора: появление теорий и общих методов, систематизации знаний - вот что характерно для Эллады. Достигается высокая логическая строгость суждений, рационализация знания. Теоретический уровень эллинской науки не имел преемников. Мировая империя римлян в ходе завоевательных войн разрушила все научные центры и не создала условий для их восстановления и развития.

\073\

В начале нашей эры ученые Александрийского музея были лишены государственной поддержки. Архимед, погиб, защищая свой родной город Сиракузы от римских варваров.



Легенда завоевателе Омаре, как будто уничтожившем Александрийскую библиотеку (если там то, чего нет в Коране, то эти книги вредны, если то, что есть в Коране, то они излишни) давно опровергнута, так как Омару достались жалкие остатки прежней библиотеки.

Также неверно думать, что основной удар Александрийскому Музею нанесли фанатические христиане. Основной удар был нанесен Римом, где "науке уделялось мало внимания, и она совершенно отсутствовала у западноевропейских королевских варваров" (Бернал, 1956). Наследие Греции вернулось на Bocток, откуда оно и пришло, а потом снова вернулось на Запад.

Под словом "теория" понимается часто не только противоположность ползучего эмпиризма, но и противоположность "практике", технике. И здесь древняя греческая наука характерна пренебрежением практикой.

Проф. Богомолов (1928): «В противоположность своим египетским учителям, Фалес и Пифагор были заинтересованы в приложениях своих открытий. Принося, по преданию, богам гекатомбу* в благодарность за открытие своей знаменитой теоремы, Пифагор был полон энтузиазма к чистому знанию и не спрашивал, чему это может послужить на практике.

Такая постановка вопроса повела к удивительным последствиям: в течение нескольких столетий греки неизмеримо опередили своих учителей - египтян, занимавшихся геометрией в продолжение тысячелетий. Впоследствии греческие ученые применили свои теоретические достижения к практическим нуждам и сразу достигли замечательных результатов; достаточно упомянуть об их успехах в геодезии и астрономии, а также об открытиях Архимеда».

И здесь мы опять видим несоответствие фактической истории, науки с тем положением, которое защищают материалисты: наука родилась под влиянием потребностей и развивается по мере возникновения все новых потребностей.

\074\

Мы же видим скорее отрицательную связь между развитием техники и развитием теоретической науки. Древняя Греция не дала ни одного крупного государства с деспотическим централизованным управлением, которое могло бы сосредоточить средства на выполнении сооружений, требовавших огромной затраты труда. Эллинские математики работали "впрок", и их работы, не имевшие прикладного значения, были использованы значительно позже западно-европейской культурой.



3.3. Вклад в математику. Достижения ионийской (милетской) школы невелики и трудно установимы. Прокл утверждает, что Фалес доказал несколько геометрических теорем: о равенстве вертикальных углов, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о том, что диаметр делит круг пополам (Богомолов, 1928).

Эти результаты оторваны от практических приложений, не имеют прямой связи с "землемерием" и высказаны в совершенно общем виде. Прогресс связан с пифагорейской школой. Здесь вполне определился характер математики, как чистой науки, которой интересуются независимо от ее приложений, поэтому многие считают Пифагора родоначальником чистой математики (Бляшке, 1957).

Пифагор поднял знамя сплошной математизации знаний. Пифагор из Самоса, около 540 г. Число - основное начало: "Число есть сущность всех вещей, организация Вселенной в ее определениях представляет собою вообще гармоническую систему чисел и их отношений".

Этим впервые высказывается мысль о закономерности Вселенной. Пифагору приписывается сведение музыкальной гармонии к математическим отношениям, теорема, носящая его имя, открытие иррациональных чисел.

{V: Нет никаких иррациональных чисел! Все доказательтсва опираются на незаконную чисто интуитивную, а не строго формальную комбинацию двух абстрактов: геометрического – прямой линии, и арифметического – числа. Мы умеем как-то «изготовлять» числа, но нет формальной процедуры перенесения и водворения их на геометрической прямой. Просто полагать, что «мы это умеем» – типичная зеноновщина!}

\075\


Сейчас многие оспаривают принадлежность этих открытий Пифагору, и, сообразно моде, доказывают, что Пифагор вообще не существовал. Этого вопроса ещё придется коснуться. Для нас это не так важно, существенно то, что школа, носившая имя Пифагора, сделала великие открытия в области математики.

Никто не сомневается в реальности существования правителя Тарента, пифагорейца Архита, друга Платона. Архиту приписывают решение задачи удвоения куба методом пространственных (объемных) геометрических мест.

Он же развил теорию иррациональных чисел. Благодаря связям Архита с Евдоксом и Платоном, математика была перенесена в Афины в Академию Платона.

Пифагорейцам принадлежит открытие правильных многогранников, теория которых была окончательно развита в школе Платона, отчего они и называются до сих пор Платоновыми телами.

В Платоновской Академии была проделана огромная работа по развитию геометрии, закончившаяся "Началами" Евклида. Величие Евклида ясно уже из того, что он, как и многие другие выдающиеся мыслители прошлого, некоторыми считается даже мифической фигурой (Бляшке, 1967); банальные деятели такой чести не удостаиваются.

{V: Но слово «эвклидион» буквально переводится с древне-греческого как «славный на деле (сборник)»! Так это и вправду славный сборник…}

Прокла утверждает, что «Начала» основываются на совместной работе круга геометров из Академии Платона, проделанной за период между 370 и 350 гг. Прокл: "Составляя свои "элементы", Евклид вобрал многие теоремы Евдокса, завершил то, что начал Теэтет Афинский, и дал строгие доказательства тому, что нашли его предшественники".

В "Началах" впервые появляется "аксиоматический метод", окончательное завершение получивший только в 20-м веке. Основная деятельность Евклида npoтeкaeт уже в Александрии, и мы знаем, что составленная им геометрия была сделана так хорошо, что ее использовали в качестве учебника вплоть до 18-го. века.

Евдокс дал общую теорию пропорций, он же предложил метод исчерпывания (аксиомы Евдокса, иначе аксиомы Архимеда) и применил его к вычислению объемов пирамиды и других тел.

Теэтет был видным деятелем Платоновской Академии. Ему, смертельно раненому в сражении при Коринфе, посвящен один из важных диалогов Платона, начинающийся с описания обстоятельств его смерти. Теэтету принадлежит строгое доказательство существования пяти правильных многогранников, Платоновых тел.

\076\

В Платоновской Академии родилось и учение о конических сечениях. Начало положил друг Платона Менехм; Эратосфен называет три основных конических сечения "триадой Менехма". Потом работал Аристей (пять книг об "Объемных местах"), , затем Архимед, и завершил работу в этом направлении ученый Александрийской школы Аполлоний (Лурье, 1945).



В Платоновской Академии разрабатывалась и теория чисел, получившая затем развитие в Александрии. В сочинениях Платова есть упоминание о так называемом "совершенном числе" (числе, которое равно сумме своих сомножителей).

3.4. Главнейшими фигурами александрийской школы являются Евклид, Архимед, Эратосфен, Аполлоний и Диофант. Некоторые из них работали большей частью не в Александрии (Архимед - в Сиракузах, Аполлоний - в Пергаме), но все они получили образование в Александрии.

\077\

Архимед был не только математиком, но проложил дорогу теоретической механике и физике, вслед за системой правильных многогранников он построил систему полуправильных многогранников, так называемых Архимедовых тел.



Он определил площадь и объемы многих тел и показал, что в ряде случаев (сегмент параболы, некоторые тела) они выражаются только рациональными числами; 3) сделал очень много в теории конических сечений (некоторые утверждали, что содержание "конических сечений" Аполлония принадлежит в основном Архимеду).

Архимед сделал шаг в построении десятичной системы чисел, однако не сделал решительного шага по установлению позиционной системы счисления. Философских взглядов Архимед в своих сочинениях нигде не высказывал, относясь, очевидно, к числу тех математиков, которых философия не интересует.

Современник и друг Архимеда, Эратосфен (одно из очень важных сохранившихся сочинений Архимеда имеет вид письма к Эратосфену) не скрывает своего уважения к Платону. Главное программное сочинение Эратосфена называется "Платоник", и сам он получил прозвище "второй Платон" или "Новый Платон".

Он знаменит своим "Эратосфеновым решетом" (способ составления таблицы простых чисел), работой по коническим сечениям и нахождению одной, двух и более средних пропорциональных, при помощи которых решались знаменитые задачи об удвоении куба и трисекции угла.

Несмотря на дружбу с Архимедом, по ряду вопросов у них были расхождения, что характерно для всех тех случаев, где культивируется действительно свободная наука. Эратосфен был не только математиком. Он был чрезвычайно разносторонним ученым и сделал крупный вклад в астрономию.

\078\


Аполлоний знаменит своими «Коническими сечениями». Это сочинение, завершившее работу эллинских математиков по этому вопросу, усиленно изучалось математиками после нового расцвета науки. Достаточно сказать, что из восьми книг этого сочинения до нас дошли первые семь. Предполагается, что содержание восьмой книги было восстановлено знаменитым астрономом Галлеем (1656-1742), исходя из содержания первых семи книг, и сведений, сообщенных комментаторам и Аполлония.

Последним крупным математиком Александрийской школы был Диофант, работавший в III веке н.э., когда Александрия уже была под пятой Рима. Ему принадлежит книга о многоугольных числах.

{V: Диофант – новое представление идеи числа. (Шпенглер – сверить???)}

Работы Диофанта в теории чисел были отправной точкой для великих ученых: Ферма (так называемое "великое предложение Ферма" сформулировано им на полях сочинения Диофанта), Эйлера, Гаусса и др. Диофант сделал важный шаг в переходе от риторической алгебры к символической, вводя сокращения выражений ("синкопическая" алгебра).

Упомянем Никомеда (2-й век до н.э.), построившего конхоиду для решения задачи трисекции угла, и Герона (1-2 в. н.э.), давшего практические приемы вычисления.

Для завершения пифагорейской линии следует упомянуть еще Никомаха. Его "Введением в арифметику" пользовались как учебником арифметики во все Средние века и даже некоторое время после Возрождения.

Феодор (Теодор) из Кирены (Северная Африка, нынешняя Ливия) установил иррациональность квадратного корня из ряда чисел. Платон, во время своего путешествия после казни Сократа, занимался у Феодора математикой. Эратосфен был тоже родом из Кирены.

3.5. Что же дала линия Демокрита в математике? Демокриту принадлежит ряд математических сочинений;- "О. касании круга и шара", "О геометрии", "Числа", "Об иррациональных линиях и телах", но эти сочинения не сохранились. Поэтому трудно судить, что именно сделано.

\079\

Ему приписывают определение объема пирамиды и конуса и, может быть, объема шара. Роль Демокрита в этих исследованиях засвидетельствована Архимедом. филопон сообщает, что Демокрит доказывал, что из всех многогранников одинакового объема наименьшую поверхность имеет шар.



Непосредственных учеников в области математики у Демокрита не было, а в дальнейшем "линия Демокрита" в лице Эпикура и Лукреция оторвалась от математики; видимо, на атомистических позициях, близких Демокриту, стоял крупный математик Гиппократ Хиосский, середина V в. до н.э. (не смешивать с основателем медицины, Гиппократом с о. Кос).

Он достиг первого успеха в решении задачи об удвоении куба; Гиппократ, стоя на атомистических позициях (а атомистическая математика отрицала существование несоизмеримых величин), пытался доказать соизмеримость любых величин.

На этом пути он достиг известных успехов, открыв известные гиппократовы луночки, вполне квадрируемые. В античности Архимедом была дана точная квадратура параболы. Гиппократ, как и все атомистические математики не могли принять открытия иррациональности.

\080\


Софист Гиппий из Элиды, о которым Платон рассказывает в трех своих диалогах, был один из энциклопедических умов древней Греции. К какой "линии" его отнести, к платоновской или демокритовской, сказать трудно. Гиппий применил для решения задачи трисекции угла трансцендентную кривую - квадратрису.

Вот обзор. Как видно, достижения "линии Демокрита" не идут ни в какое сравнение с основным направлением в эллинской математике, стоявшим целиком на "линии Пифагора-Платона". Перейдем теперь к вопросам методики.

3.6. Огромное значение имело обнаружение несоизмеримости величин. Апории Зенона Элейского:


  1. дихотомия: невозможно осуществить движение;

  2. Ахиллес не догонит черепаху;

  3. 3) полет стрелы невозможен.

показывают, к чему приводят попытки получать непрерывные величины из бесконечного множества бесконечно малых частиц (нельзя пользоваться бесконечностью, опираясь на наивные атомистические соображения).

{V: Что же А.А. не замечает, что иррациональные числа – просто ещё одна «апория Зенона» и не более того!}

Одним из ранних методов предельного перехода явился метод исчерпывания. Изобретение его приписывается ученику Платона, Евдоксу, наиболее широкое развитие он получил у Архимеда.

\081\


3.7. Метод исчерпывания был чисто геометрическим методом. Но только в двадцатом веке окончательно выяснилось, что для отыскания решений Архимед пользовался иными, менее строгими, но более легкими методами.

Это произошло после находки в 1906 году сочинения Архимеда "Послание к Эратосфену". Архимед много работал по механике, и у него механические аналогии проникли в математические методы. Для вычисления объема шара он пользуется механической интерпретацией, основанной на законе рычага, на этом же основан и другой метод получения квадратуры параболы, который был потом переведен на язык метода исчерпывания.

\082\

Следующей разновидностью инфинитезнмальных методов является метод интегральных сумм, применявшийся в сочинениях Архимеда: "О шаре и цилиндре", "О спиралях", "О коноидах и сфероидах". Исследуемое тело или поверхность разбивается на части, и каждая часть аппроксимируется описанными и вписанными телами или кривыми.



Аппроксимируемые сверху и снизу тела и поверхности выбираются так, чтобы разность объемов или поверхностей могла быть сделана сколь угодно малой. Вычисление суммы ряда дает искомый результат. Этот прием Архимед применял, например, к вычислению объема эллипсоида вращения или площади первого витка спирали Архимеда.

Метод чрезвычайно схож с методом определенного интегрирования, но он применялся индивидуально для каждой конкретной задачи, и общетеоретические основы не были оформлены. Наконец, у того же Архимеда мы находим методы, которые ретроспективно могут быть охарактеризованы как дифференциальные, например, метод нахождения касательной к спирали.

В инфинитезимальных методах получили первое выражение элементы новых математических средств, приведших к созданию анализа бесконечно малых. Лейбниц по этому поводу писал: "Изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться успехам современных математиков

Можно подумать, что Архимед сделал так много на пути обоснования анализа бесконечно малых, что для завершения этой отрасли математики остались только доделки. Это совершенно неверно.

Задача удовлетворительного построения анализа бесконечно малых настолько трудна, что для завершения ее потребовались ряд столетий и напряженная работа ряда выдающихся математиков. Выберем из нее только то, что интересно даже для нематематикой.

Кеплер тщательно изучал творения Архимеда, но вместе с тем старался разгадать замысел Архимеда, приведший его к столь разительным результатам, и догадался, что этот метод состоял в разложении фигуры или тела на множество бесконечно малых частей.

Пренебрегая абсолютной строгостью, Кеплер этим путем вычислил объем 92 тел вращения. Ослабление строгости метода вызвало резкие возражения, и ученик основоположника символической алгебры, Виета, А.Андерсон выпустил даже специальное сочинение "В защиту Архимеда", где обвинял Кеплера в оскорблении памяти Архимеда.

\083\


Но эта критика не остановила ученых, и дальнейший шаг был сделан Бонавентурой Кавальери, который с 1629 года по рекомендации Галилея занял кафедру математики в Болонье (будучи настоятелем католического монастыря ордена иеронимитов). Совокупность всех неделимых по существу вводит понятие определенного интеграла.

У метода появилось много приверженцев, в частности, известный Торичелли. Но работа все-таки была незавершена, и только после работ Паскаля, Роберваля, Ферма, Декарта, Валлиса наступило время, когда Ньютон и Лейбниц дали первый синтез анализа бесконечно малых.

И до них было решено огромное количество задач, но методы интегрирования развивались независимо от дифференциальных методов.

3.8. Но значит, Ньютон и Лейбниц завершили синтез анализа? Сами Ньютон и Лейбниц так не думали. Как и все великие мыслители, они понимали ясно крупные несовершенства своих построений. Большинство результатов своей теории флюксий Ньютон получил в течение 60-70 годов XVII века.

В 1676-1677 годах Лейбниц завязал переписку с Ньютоном, где оба сообщали о своих результатах и хорошо понимали друг друга. Переписка прекратилась, так как Ньютон перестал отвечать на письма. Как будто забота о приоритете должна была побудить обоих ученых к скорейшей публикации своих результатов (в дальнейшем этот спор разгорелся и составляет печальную страницу в истории науки).

Однако, Лейбниц первый мемуар всего на 10 страницах опубликовал только в 1684 году, а Ньютон еще позже. Мало этого, "Математические начала натуральной философии", появившиеся в 1688-1687 гг. написанными без применения методов теории флюксий, хотя многие из приведенных книге результатов первоначально были получены средствами этой теории.

\084\

Ньютон считал употребление бесконечно малых чисто эвристическим приемом, лесами, которые должны быть убраны по окончании постройки.



3.9. Строгое обоснование анализа бесконечно малых потребовало еще длительной работы. Многие крупные ученые не принимали нового метода, например, Гюйгенс. С возражениями выступил знаменитый философ Д.Беркли, выпустив памфлет "Аналист". Как часто бывает, умные и образованные противники способствуют развитию нового учения.

Ф.Кеджери сравнивает "Аналист" с бомбой, попавшей в математический стан, и расценивает его как выдающееся произведение. Вместе с тем, одна из идей Беркли послужила одним из принципов обоснования исчисления бесконечно малых в XVIII в.

Но как? Он вводит идею компенсирующих погрешностей. Это объяснение приняли многие, например, Лагранж и Карно. "Анализ есть ни что иное, как исчисление компенсирующих погрешностей".

Другие математики для защиты от критики Беркли выпускали сочинения с целью более строгого обоснования метода. Таким был, например, фундаментальный "Трактат о флюксиях" Маклорена.

\085\

Но все эти работы не дали полного обоснования анализа. Коши и иные ученые создали здание анализа, в котором новые логические трещины появились лишь много десятилетий, чуть ли не век спустя (Вейерштрасс). Длительный процесс создания исчисления бесконечно малых ведет от Евдокса, Архимеда к Ньютону и Лейбницу. Вся эта линия связана с платоновско-пифагорейским направлением, без всякого влияния линии Демокрита.



Лурье: «Архимед упоминает Демокрита и признает его заслугу в деле вычисления объемов тел, но к этому результату Архимед пришел самостоятельно и ознакомился с сочинениями Демокрита уже по возвращении в Сиракузы из Александрии.

Обнаружив в Сиракузах математические труды Демокрита, Архимед с жадностью набросился на них. Он оказался здесь у истоков "атомистического" интегрирования, которое ему с трудом и но частям приходилось реставрировать из отдельных намеков и приемов в трудах по механике, написанных его предшественниками".

Коснемся вопроса о приоритете Демокрита. Не известно является ли определение объемов пирамиды и шара оригинальным достижением Демокрита. Возможно, что оба объема были известны уже египтянам. Несомненно, что и Платон, и Демокрит были знакомы с математикой египтян, Архимед же, видимо, историей математики не интересовался.

Александрийская школа уже так далеко ушла от египетской науки, что большинство ученых, вероятно, интересовалось только наукой своих ближайших предшественников, т.е., в основном, Платоновской Академии и Аристотелевского Лицея.

Доводы Лурье, что Архимед заимствовал свою методику у Демокрита, крайне неубедительны. Для полноты картины разберу их. В книге об Архимеде Лурье упоминает о двух задачах по определению объема тел: 1)образованного двумя цилиндрами с взаимно дерпендикулярными осями и 2) части цилиндра, отсеченной плоскостью, проходящей через ребро верхнего основания описанной призмы и через центр нижнего основания.

\086\


Обе задачи представляют стереометрическую параллель гиппократовым луночкам и квадратуре параболы. То, что вторая из задач решена путём неделимых, бе всякого применения механики (закона рычага), доказывает, что мы тут имеем дело в приёмом, заимствованным у Демокрита.

Но ведь в чем точно состоял метод Демокрита, мы не знаем. Aрхимед же мощный ум, и разнообразие его методов настолько велико, что мы имеем полное право допустить здесь самостоятельное творчество Архимеда.

3.10. Архимед многое заимствовал у Демшушта, чисто терминологически. Современная терминология конических сечений (эллипс, парабола, гипербола) ведет начало от Аполлония, которого Архимед не упоминает: видимо, отношения между ними были не из приятельских.

Могла играть роль здесь и различная политическая ориентация: Аполлоний, хотя и получил образование в Александрии и как ученый относится к Александрийской школе, работал в конкурирующей с Музеем Пергамской школе, ориентировавшейся на Рим. Ахимед же был ярым противником Рима.

В замечательном сочинении Архимеда "О коноидах и сфероидах", где он был пионером, идет речь о телах, полученных от вращения сегментов конических сечений вокруг оси. То, что мы называем теперь параболоидом вращения Архимед называл "прямоугольным коноидом", гиперболоид вращения — "тупоугольным коноидом". Эллипсоид же вращения он называл "сфероидом", причем различал два вида их - "удлиненный" и "сплющенный" сфероиды (вытянутый и сжатый эллипсоиды вращения).

\087\


В ранний период своей деятельности не знал Демокрита, следовательно, нет никаких оснований думать, что он эти^термины усвоил от него.

Очевидно, в ходу был некоторый запас обезличенных математических сведений раннего происхождения. Уже древние египтяне умели находить с хорошим приближением площадь эллипса, рассматривая ее как "тень" (параллельную проекцию) круга, и получали площадь эллипса как площадь других теней.

Достижеие расцвета атомистической математики, что эллипс - косое сечение цилиндра, есть простой пересказ того, что знали уже египтяне. По сравненинию с теми методами, которыми пользовались в школе Платона и в Александрийской они настолько проще, что нет ничего удивительного, что Архимед сам до них додумался.

Может быть, конечно, "Архимед восстановил в правах ненаучный но удобный атомистический метод интегрирования, но только как метод нахождения решений, правильность которых для каждого отдельного случая должна была затем доказываться строго геометрическим способом" (Лурье, 1956).

Аксиомы атомистической математики (имевшие, очевидно, додемокритовское происхождение) уже во времена Платона были прочно опровергнуты, хотя среди греков, мало знакомых с математикой, они могли еще иметь хождение. Платон: "Что касается отношения линий и площадей, то разве мы, греки, не думаем, что их возможно измерить одни другими?.. Но это никак невозможно…».

Чтобы покончить с терминологией тел вращения, можно сказать, что в пользу термина "сфероид" говорит то, что ведь эллипс можно вращать около двух действительных осей, отчего и получается их два сорта. Парабола же имеет одну ось. У гиперболы же кроме действительной имеется и мнимая ось, отчего гиперболоидов два – однополостной и двухполостной, но, так как Архимед вращал только каждую из ветвей гиперболы, он вращения около мнимой оси не рассматривал, отчего получался только один вид гиперболоида.

\088\

3.11. Тепекрь разберём второй пункт параграфа 3.9: именно, что Архимед тщательно изучал труды Демокрита. Архимед не читал сочинений атомистов. Вот это место: Как сообщает Архимед в своем "Числе песчинок (Псаммит)", Аристарх говорил, что "окружность, по которой Земля движется вокруг Солнца, так относится к расстоянию до неподвижных звезд, как центр шара к его поверхности.



Архимед, который не читал сочинений атомистов и не знал их математики, недоумевает и видит в этом выражении сплошную нелепость: "Ясно, что этого быть не может: так как центр шара никакой величины не имеет, то следует полагать, что никакого отношения между ним и поверхностью шара быть не может".

С точки зрения геометрии Евдокса и Евклида, это действительно нелепо, но не с точки зрения математики атомистов, по которой центр имел не "никакую", а предельно малую величину; он был "амерой". Из Фемистия, комментатора Аристотеля, известно, что атомисты утверждали это именно о центре круга: "Нельзя разделить круг на два равные друг другу полукруга, но центр всегда окажется при разрезании присоединенным либо к одной, либо к другой половине, и сделает эту половину на одну амеру большей.

Ясно, что Архимед в момент написания "Псаммита" не был хорошо знаком с сочинениями Демокрита, но совершенно неясно, чтобы Аристарх придерживался математики Демокрита. Аристарх, Коперник древнего мира, был обвинен, за то, что поставил Солнце в центр Вселенной, в безбожии и должен был покинуть Афины.

Высокая же квалификация его как математика не допускает мысли, чтобы он считал невозможным разделить круг на два равных полукруга. Кроме того, совершенно нельзя было говорить о размерах "амер", так как это было чисто умозрительное понятие.

Поэтому, это выражение Аристарха было или его личной опиской, или ошибкой переписчика, и никаких выводов о его близости Демокриту не позволяет сделать.

\089\


Но, может быть, "Псаммит" написан до того, как Архимед познакомился с сочинениями Демокрита. Письмо Эратосфену, где Архимед ссылается на Демокрита, относится к целому периоду геометрических работ Архимеда.

Более поздние работы Архимеда посвящены: 1) проблемам счета, 2) математическим играм и 3) гидротатистике, не считая, конечно, его трудов по изобретению военных машин.

"Если в предыдущую эпоху жизни Архимед посвящал свои труды своим коллегам по Александрийскому Музею - Конону Эратосфену, Гераклиду, Досифею, то теперь он посвящает свои труды сиракузским монархам Гиерону и Гелону» (Лурье, 1945).

Как известно, и Гиерон, и Гелон были родственниками и друзьями Архимеда; Гиерон не получил власть по наследству, но, будучи талантливым полководцем в войсках Пирра, захватил власть после возвращения Пирра в Грецию. «Псаммит», несомненно, относится к позднему периоду творчества Архимеда и Лурье его относит к поздним работам) и по характеру работы, и по тому, что она посвящена соправителю Гиерона, царю Гелону.

Значит, что он написал его уже после ознакомления с приоритетом Демокрита в определении объема конуса; ясно также, что это не побудило его к внимательному ознакомлению с атомистической математикой, так как последнюю он считал пройденным этапом и даже не понимал (при его уме!) выражения, могущие быть истолкованными только с атомистической точки зрения.

3.12. Лурье: «Открытие иррациональных величин было неприемлемо для атомистической математики. "Доводы, выставленные математиками идеалистического лагеря, казались неопровержимыми, и математика атомистов быстро вышла из моды и была предана забвению".

Д овольно странно звучат слова Лурье "доводы казались неопровержимыми": доводы идеалистов и оказались неопровержимыми. И сейчас к существованию иррациональных чисел, которое, насколько мне известно, не оспаривается ни одним математиком, прибавились еще трансцендентные, комплексные числа и т.д.

Правда, сейчас "атомистическая математика" существует в форме "исчисления конечных разностей", но никому не приходит в голову считать ее единственно возможной.

\090\

На той же странице Лурье пишет: "Новая математика выросла на фоне яростной, ожесточенной борьбы с материализмом. Авторы математических книг черпают теперь свою аргументацию словно из практики уголовного судопроизводства, и как преступник стремится, что обвинительная картина преступления абсурдна, так и у античного математика способ аргументации - приведение к абсурду. Влияние адвокатской практики также дало важные результаты».



Давая такую оценку новой математики, Лурье указывает, что она имела два недостатка: 1) новый способ доказательства хорош для доказательства результата, уже известного или угаданного, но не годится для нахождения новых; 2) этот метод скорее огорошивает читателя, чем развивает его ум.

\091\


А откуда это взято? В научных сочинениях по математике и сейчас никто не пишет весь ход рассуждений, много отводится "догадке". Известно например, что при дифференцировании функций существуют правила, а в интегрировании много зависит от "искусства интегрирования", умения заменить переменные и т.д.

В современной высшей математике много такого, что "огорошивает" даже опытного читателя, и чтение многих авторов есть нелегкий труд. Когда встречаешь слова "нетрудно видеть", то это и есть самое трудное место, для разбора которого часто приходится потратить гораздо больше времени, чем там, где такой оговорки нет.

Дело объясняется просто: для математика крупного калибра многое совершенно интуитивно "ясно", и он не нуждается в доказательстве. Недаром Адамар сказал: "Гениальные математики предлагают теорему, талантливые ее доказывают".

Вся подготовительная работа математика это — леса, которые, естественно убирают после возведения постройки. А если бы обо всем этом писать, то объем работ возрос бы во много раз без нужды, так как опытные математики разбираются и без лесов.

Все это касается, конечно, чисто научных сочинений. В литературе, в частности педагогической, конечно, должны быть подробно освещены все методы работы. И Лурье нас информирует, что и такого рода работы остались в творчестве Архимеда.

В спокойной обстановке Сиракуз, где, несмотря на близость Архимеда ко двору, не было придворной обстановки, существовал обычай предложения для доказательства новых математических истин: результаты потом обсуждали.

\092\

При таком обсуждении обнаруживали и ошибки. Не был безошибочным и Архимед. В одном из выводов он сам потом обнаружил ошибку.



Он публично заявил о своих ошибках и прибавил замечание: "Пусть это будет устрашающим примером того, как люди, утверждающие, будто они умеют доказать все то, что они предлагают решить другим, но не прилагающие собственных решений этих вопросов, в конце концов принуждены будут убедиться в том, что они брались за невозможное".

Письмо Эратосфену имело цель популяризировать недостаточно строгий метод. Но если бы Архимед пользовался методом Демокрита, то он не мог бы его скрыть, и Эратосфен о нем бы знал.

Не пришлось бы ему писать письмо с разъяснениями. Есть все основания для утверждения, что эвристический метод Архимеда не заимствован у Демокрита, а является чем-то несравненно более совершенным.

3.13. Ссылка на то, что оригинальные сочинения Демокрита не сохранились, неубедительна. Всё здание античной математики настолько проникнуто антидемокритовским духом, что ни о каком заимствовании и речи быть не может.

Можно утверждать, что они полностью переработали математические основы Демокрита в идеалистическом духе. Пифагорейцы удачно повели нападение на наименее защищенное место в теории Демокрита - на его учение о мельчайших неделимых математических элементах.

Приняв делимость до бесконечности и заменив амеры (математические атомы) Демокрита непротяженными точками - монадами, они, с философской стороны ослабили аргументацию Демокрита, но, с точки зрения развития математики, это было шагом вперед, так как подготовило учение Евдокса.

С точки зрения идеалистической философии, достигалось то, что материя составлялась из нематериальных элементов и, таким образом, оказывалась видимостью.

\093\


На вопрос же, как из нематериальных точек получаются материальные тела, пифагорейцы дали остроумный ответ: «линия не составляется из точек, но при движении точка переходит в новую сущность - в линию; при движении прямой линии возникает плоскость; при движении плоскости - тело и т.д. Точка не является элементом линии, а является границей линии».

Ясно, что пифагорейско-платоновская школа не могла заимствовать от Демокрита самые ценные свои достижения, не совместимые с идеологией Демокрита. Работы пифагорейцев не были реакцией на работы Демокрита, так как и Демокрит, и Евдокс - различная реакция на критическую работу элеатов.

Пифагорейское понимание материи близко с представлением современной физики. Сущность демокритовского математического томизма заключалась в признании математических амер (т.е. не имеющих частей).

Лурье: "Такое математическое тело труднее помыслить, а представить конкретно и вовсе невозможно: оно, очевидно, не должно иметь правой и левой стороны, верха и низа, тем не менее оно должно обладать протяжением. Очевидно, такое тело не делимо и математически, так как из него нельзя мысленно выделить какую-либо часть; таких частей у него не существует".

Это нечто совершенно сверхъестественное, похожее на бред сумасшедшего. Но ведь выводом из демокритовского математического атомизма было отрицание иррациональных чисел.

\094\

В ответ на утверждения, основанные на существовании иррациональных величин, атомисты заявляли, что таких величин не может существовать, так как "неделимое является общей мерой всех величин" (Лурье,1947). Точно также атомисты возражали против теорем, что всякую прямую можно разделить на две равные части.



С точки зрения атомистов, все геометрические теоремы дают, в сущности, не точный результат, а приближенный, с погрешностью в одно неделимое. Доказательствам существования иррациональных чисел атомисты упорно сопротивлялись.

Я думаю, что говорить об основном значении демокритовскоЙ линии в математике совершенно невозможно.

3.14. Перейдем к философии математики этого периода. Неверно утверждение, что работа пифагорейцев была реакцией на атомизм Демокрита. Зенон Элейский примерно на сорок лет старше Демокрита и уже до Зенона был древнейший математический атомизм, где первоначалом были материальные, но не протяженные точки.

Такие представления были и в древней Индии. Демокрит мог заимствовал свой атомизм и у финикянина Моха. Отличие этого атомизма от демокритовского то, что элементы его были непротяженными, но из них при сложении получались-де протяженные линии, плоскости и т.д.

Против этого и выступали элеаты. Нq на какой они "линии" стояли? На материалистической или идеалистической?

\095\


Главными представителями элейской школы являются: Ксенофан (родом из Колофона, откуда был изгнан), Парменид и Зенон, жившие в Элее, и Мелисс с острова Самос. Хотя Ксенофан говорил о боге, но его "бог" - абстрактно понимаемый материальный субстрат Космоса.

Все они были успешными политическими деятелями: Парменид отечество привел в порядок отличнейшими законами, Зенон восстал против тирана, был подвергнут пыткам и казнен, Мелисс в качестве самосского стратега в 442 г. до н.э., руководил борьбой с афинским флотом и успешно боролся о афинскими командирами, знаменитым трагиком Софоклом и не менее знаменитым Периклом.

Не все считают элеатов представителями материализма. Парменид был знаком хорошо с учением Гераклита, но прежде пропитался западногреческими учениями. Ионийскую философию он применил главным образом для того, чтобы углубить и поднять на уровень современной ему науки эти учения.

Если, как утверждал Ксенофан, божество едино, если оно разлито по всей Вселенной, то и Вселенная едина. Её необходимо считать всюду одинаково плотной.

Отдельных предметов не существует, и как раз наука последнего дня доказывает правильность религиозного положения, что воспринимаемый нами мир есть только "домысел", что совершенный мир чужд и противоположен этому миру. Мать скептицизма не наука, а религия.

Зенон возвратился от двух элементов Парменида к четырем элементам мистерий; Мелисс доказывал, что истинный мир бестелесен. Идеал элейской школы - безмятежная неподвижность. Конечно, это подкрепляется "анкетными данными", вплоть до того, что Мелисс уроженец Самоса - родины "основателя реакционной италийской философии Пифагора".

\096\

Правда, биографии Парменида, Зенона и Мелисса как будто опровергают, что они стремились к "безмятежности". Так куда же отнести элеатов: к "прогрессивной", материалистической, или "реакционной", идеалистической линии?



Сопоставление мнений показывает, что многих философов можно "причесать" и под материалистов, и под идеалистов, но в данном случае речь идет о противопоставлении, совсем в другой плоскости, рационализма и эмпиризма.

{V: Неверное это противопоставление, так как истинная полярная пара это «эмпиризм – форсированный экспериментизм»! Вот это пара, так пара!}

3.16. С точки зрения математики, наиболее интересным из элеатов является Зенон, поставивший свои знаменитые апории. Апории были основаны на критике древних законов математики:


  1. сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и чрезвычайно малых, протяженных величин обязательно должна быть бесконечно большой;

  2. сумма любого, хотя бы и бесконечно большого, числа непротяженных величин всегда равна нулю и никогда не может стать равной некоторой, заранее данной, протяженной величине.

Применяя эти "самоочевидные" истины, Зенон и пришел к своим апориям, которые и явились опровержениями аксиом, приведением их к абсурду.

Какова же роль Зенона? Современные математики высоко оценивают роль Зенона. Георг Кантор, превращает Зенона в мыслителя сверхсовременного масштаба, поставившего задачи, не разрешенные доныне.

Зенон оказал большую услугу математике, показав, что она должна лучше обосновывать свои исходные положения. Но реформа математики имела место только через 20-30 лет после выступления Зенона.

\097\


В ближайший момент возможно было одно из двух: вовсе отказаться от отвлеченных геометрических построений или просто игнорировать Зенона. По первому пути пошел Протагор, по второму - Эмпедокл и Анаксагор".

Апории оказали мощное влияние на четыре направления философской мысли. Роль мощного фермента мысли Зенон несомненно сыграл. Разберем вкратце эти четыре направления:

а) что касается Эмпедокла и Анаксагора, то у них нет математических заслуг.

б) немногим лучше позиция Протагора: полное отрицание теоретической геометрии. Геометрия низведена на уровень прикладной геодезии; полный отказ от обобщений. Вопросы Протагор предлагал решать большинством голосов - полное банкротство теоретической науки.

3.16.

Третье направление - направление Демокрита. Доводы Зенона могут быть опровергнуты только путем допущения существования неделимых величин.



Большинство пошло по четвертому, идеалистическому пути, начиная с Евдокса.

Демокрит цеплялся за устаревшие аксиомы, в линии же Платона сделали правильный, дуалистический вывод: нельзя положения, доказанные для чисел, переносить, без критической проверки на непрерывные величины. Этот путь - генеральная линия развития математики, а не демокритовский тупик.

В математике, но не в физике. "Геометрия Демокрита - это часть физики; всякий геометрический образ имеет длину, ширину и глубину (хотя бы чрезвычайно малую, как у точки, линии, плоскости), и геометрия учит о пространственных взаимоотношениях физических тел" (Лурье).

\098\


Идеалистический уклон большинства математиков не является ни следствием приверженности устарелым воззрениям, ни обязан вообще каким-либо вненаучным влияниям.

Занятие математикой не опровергает идеализм, а способствует развитию идеализма даже у тех ученых, которые первоначально были близки к материализму. Один из великолепнейших примеров - великий Лейбниц. Во всех различных по содержанию математических занятиях он исходил из одной цели. Цель эта философская: создание универсального метода научного познания, по терминологии Лейбница - всеобщей характеристики - "Матезис универсали".

3.17.

Платоновская линия в математике не исчерпала себя исчислением бесконечно малых. Как указывал Вейль (1934), в истории человечества были предприняты три попытки представить непрерывное. "Согласно первой и самой радикальной из них, континуум состоит из определенного исчислимого количества дискретных элементов.



\099\

Для случая материи этот путь, на который еще в древности вступил Демокрит, пройден до конца современной физикой. Для случая пространства концепция атомизма была развита Платоном.

Атомистическая теория пространства была возобновлена в философии ислама Мутакадлимуном, а на Западе - в учении о минимуме Джордано Бруно". "Второй попыткой является введение бесконечно малых". "Третью попытку "спасти" непрерывное в смысле Платона мы встречаем в лице современного теоретико-множественного обоснования анализа".

Платоновский идеализм жив и в современной математике. Абстрактные математические понятия и, прежде всего, бесконечные множества (как множество всех чисел, множество всех функций и т.п.) понимаются, как самостоятельные сущности.

Это и есть платонизм в математике, ибо Платон как раз и приписывал самостоятельное существование идеям — Кантор выдвинул принцип, что "сущность математики в ее свободе". Принцип этот удобен, так как не стесняет математического творчества и заранее оправдывает любые абстрактные построения.

А. Д. Александров находит аналогичные воззрения даже в статье "Математика" в первом издании БСЭ, написанной А. Н. Колмогоровым: «Практика из критерия истины превращается в потребителя, пользующегося милостыней теории».

\100\

Замечу, что история европейской техники как будто бы подтверждает именно эту точку зрения Колмогорова. Другой наш выдающийся математик, Н.Н. Лузин, тоже, конечно, относится к идеалистам.



А.Д. Александров не склонен считать теорию множеств ошибочной: она "привела к успехам математики, но эти успехи неразрывно связаны с задачами, идущими, в конечном счете, от естествознания и техники, а не сводятся к "свободному полету математической мысли".

При всем уважении к А. Д. Александрову, последнему утверждению невозможно поверить. Он постоянно упрекает идеализм, что он ведет к "поповщине", но, ведя к "поповщине", он и науку ведёт к поразительным успехам.

Утверждение, что всякий успех математики связан с естествознанием и техникой, - это тоже "поповщина", только материалистическая: но эта "поповщина" отличается от идеалистической тем, что с такими успехами как теория множеств она не связана.

3.18.


Почему связь особой продуктивности математики с идеализмом мы можем считать не случайной, а закономерной? А. Д. Александров: "Большинство математиков продолжало и продолжает придерживаться по существу канторовской "свободы математики". Она менее всего стесняет математическое творчество. Но возникли течения, стремившиеся ограничить эту свободу, чтобы устранить порождаемые ею противоречия".

\101\


Заметим, что фанатический католик Г. Кантор в науке проповедует максимальную свободу творчества. У нас часто наоборот: те, кто претендует на монополию свободомыслия, стремятся установить "единственно возможное" решение научных вопросов.

В чем сущность неограниченной свободы математического творчества? В допущении вводить понятия, которым ничего не соответствует в реальной действительности. Это прямое нарушение определения математики, данного Ф.Энгельсом, по которому предметом математики являются количественные отношения и пространственные формы действительного мира.

И мы часто слышим, что на каждом этапе развития теории ее определения и формулы должны иметь какое-то реальное содержание. Правда, формулу Энгельса можно примирить с допущением полной свободы, если "действительность" понимать в платоновском смысле, т.е. как реально существующий мир идей, но вряд ли Ф. Энгельс согласился бы с таким толкованием его определения.

Установка Демокрита и соответствовала определению Энгельса. Единственно реальное в природе - атомы, следовательно, и в математике им соответствуют реальные амеры. Но, конечно, определение Ф.Энгельса шире демокритовского понимания, так как включает и количественные отношения. В процессе развития математики постепенно "материализовались" и те понятия, которые первоначально казались совершенно нереальными.

"Для чего нуль, что он обозначает? Ведь ему ничто же в природе не соответствует? Но мы знаем, что введение нуля было необходимо для осуществления огромного прогресса в арифметике - позиционной системы счисления. И в теории множеств есть "пустое множество?" Так ведь это противоречие в самом понятии: можно ли говорить о "множестве", если в нем нет ни одного элемента.

Отрицательные корни уравнения Кардано называл "фиктивными", и даже Декарт называл их "ложными", хотя отрицательные величины уже понимались иногда в форме "долга".

\102\

Квадратные корни отрицательных величин назывались "мнимыми". Кардано их называл "софистическими". Однако уже в 1572г. итальянский математик Бомбеллк показал, что в так называемом неприводимом случае вещественный корень получается как сумма двух комплексных чисел.



Явное нарушение правила, по которому каждый шаг не должен отрываться от реальной действительности. Математики этим не смущались, а потом Гаусс показал, что мнимые корни и комплексные числа теряют "софистичность", если их рассматривать как направленные величины на плоскости.

Дальнейший шаг - кватернионы (величины, содержащие три "мнимых" компонента: при умножении чисел знак зависит от порядка множителей) - также получил аналогичное разъяснение, когда в векторном анализе направление рассматривалось уже в трех измерениях.

3.19.

Мы получаем противоположение материализма и объективного идеализма в понимании соотношения истины и реальности. И идеалисты, и материалисты часто употребляют в теории "общие идеи", но под этим можно понимать идеи:



  1. являющиеся действительно отражением материального мира;

  2. предвосхищение особенностей материального мира, как то атомистическая гипотеза, взгляды Фарадея на электричество и проч., комплексные числа; здесь часто обнаруживалось непонимание - и материалисты занимали консервативную позицию;

  3. предвосхищение нематериальных особенностей вполне реального мира идей; просто удобные средства упорядочения наших восприятий, не претендующие на реальный смысл: чисто махистский подход.

Махизм допускает максимальную свободу в выборе теоретических орудий и принципиально не связан ни с какой метафизикой, хотя видные махисты, например Дюгем, придерживаются определенной метафизики.

\103\


Но не все махистские "конструкты" могут претендовать на объективное существование, - только точные истины; если мы заведомо пользуемся приближенными понятиями, то настаивать на их объективном существовании мы не имеем права.

Вторая категория общих идей, могла бы разрабатываться и материалистами. Материалисты чинили такой разработке препятствия, так как общие идеи противоречили сложившемуся представлению о материальном мире, которое в определенное время господствовало.

В недавнее время мы имели этому пример, когда предвиденный Дираком "антиэлектрон" казался совершенным абсурдом. Сам Дирак считал, что, если теория приводит к такому выводу, значит она неверна, но через год этот антиэлектрон (позитрон) был открыт экспериментально, а затем и другие античастицы. Но если в настоящее время теоретическая физика и математика завоевали себе полную свободу исследования, то не всегда так было.

Любопытно указание на отношение к геометрии Лобачевского. Сам Лобачевский называл свою геометрию "воображаемой". Впоследствии оказалось, что геометрия Лобачевского двух измерений вполне приложима ко вполне реальной поверхности, псевдосфере. Возможно, Лобачевский был материалистом.

Приписываемое ему мнение, что нет сколь угодно абстрактной ветви математики, которая не получила бы в свое время приложения к реальному миру, не однозначно. Но как его геометрия, так и аналогичные взгляды Гаусса в свое время не получили признания. Гаусс даже и не опубликовал своего мнения по этому вопросу.

\104\


3.20.

Вернемся к формулировке Кантора: "Все истинное имеет объективное существование". Истинность же понимается в смысле отсутствия внутренних противоречий. Истина в этом смысле есть критерий существования. Материалистическое понимание утверждает обратное: существование есть критерий истинности.

В старом учебнике исторического материализма Н. И. Бухарина с торжеством опровергался догмат Троицы, на том основании, что он противоречит таблице умножения. Как может быть 3x1=1? Но теория множеств того же Г. Кантора показала, что таблица справедлива только для конечных чисел. Для бесконечных чисел она неприложима. Возьмем три бесконечных множества:

1.4.7.10.13.16.19 ...

2.5.8.11.14.17.20 ...

3.6.9.12.15.18.21 ...

Числа не повторяются, так что все три множества полностью отличаются один от другого. Все три - одинаковой мощности, так как из одного путем прибавки или убавки единицы или двойки можно получить другое. Имеется биоднозначное соответствие.

Но с другой стороны имеется биоднозначное соответствие между каждым из множеств и натуральным рядом чисел: 1,2,3,4,5... Например, из третьего ряда можно получить натуральный ряд делением всех цифр на три, а из натурального ряда - третий ряд путем умножения на три. Натуральный ряд получается также сложением всех трех рядов. Таким образом, от сложения трех одинаковых по мощности множеств мы получили новое множество одинаковой мощности с каждым из слагаемых, так что 1+1+1 = 1.

{V: Пример этот, конечно, весьма наивен!}

Еще более удивительный случай приведен в статье А. Д. Александрова: "Далекое чисто логическое развитие представлений о непрерывности как о множестве отдельных точек ведет к результатам, которым не удается приписать физического смысла. Так, доказано, например, что существует разбиение "математического" шара на конечное число таких частей, из которых можно сложить два таких же шара (ровно таких же размеров).

\105\

Эти части, как говорят математики, "неизмеримы", т.е. им нельзя приписать никакого определенного объема, в это неизбежно, так как иначе получалось бы противоречие: объем шара равнялся бы сумме объемов двух таких же шаров, т.е. единица равнялась бы двум. Но вследствие "неизмеримости" частей тут никакого формального противоречия нет.



Однако теорема заведомо не имеет никакого физического смысла. Стало быть, она может иметь лишь какой-то более абстрактный смысл, но какой - неизвестно". Может быть, на идеалистическом древе познания созревают такие плоды, даже мечтать о которых материалистам не дозволено под угрозой изгнания из рая.

Идеализм большей частью, является не тормозом науки, а знаменем её развития, напротив, требование материализма, чтобы каждое понятие имело физический смысл, часто является таким тормозом. Положение о вреде от платонической свободы мышления Александров не доказывает. На этом пути материалистов ждет, однако, разочарование.

3.21.

Как указывает А. Д. Александров, философским конкурентом Г. Кантора является Давид Гильберт, основоположник формализма в математике: "Задача, которую поставил Гильберт, в том, чтобы устранить противоречия, порожденные "свободой математики", и сохранить в математике все ценное путем сведения математики к формальным исчислениям, ибо о формуле в ее точном выводе спорить нечего: они не могут быть истинными или неистинными; они просто есть, ибо они написаны на бумаге. Существуют формулы, а вопрос о том, что они означают, не принадлежит, по убеждению формалистов, к математике, а относится к "философии" или, по Гильберту, к "метаматематике".



\106\

Статью "Ленинская диалектика и математика" Александров заканчивает словами: "Четыре страницы Ленинской заметки "К вопросу о диалектике" - мощный стимул к творчеству".

Александров считает, что формальное обоснование математики невозможно и что это находит также математическое подтверждение, как доказал австрийский математик Гёдель, даже учение о целых числах не может быть исчерпано никаким формальным исчислением.

Аксиоматизация физики повторяет кантианские утверждения об априорности законов физики. Извращение науки независимо от добрых намерений кого бы то ни было, ведет в болото, где среди ядовитых цветов идеализма ползают философские динозавры - эллингтоны, сматсы и расселы, где рядом с уточненным извращением науки гнездятся "атомная" философия, борьба против демократии и прочие мерзости империалистической идеологии". Как видим, формализм в самом зачатке получил полное и окончательное опровержение.

Статья А. Д. Александрова появилась в 1951 году, в период культа личности Сталина. Но если "судить по делам, а не по словам", то получим совершенно иную картину.

В 1947 году был издан перевод книги Гильберта и Аккерманв "Основы теоретической логики". В предисловии марксистский математик С. А. Яновская указывает, что историю теоретической логики надо начинать с "универсальной характеристики" Лейбница. Развивалась она в 19-м веке, но в основном она является из дисциплин науки XX века, когда она стала частью математики.

\107\

Яновская пишет, что развитие логики с помощью построенного самим же Гильбертом аппарата, обнаружило неосуществимость его надежд для оправдания формалистической и идеалистической точки зрения на математику.



3.22.

Но прошло двенадцать лет, и в 1969 году появилась книжка П. С. Новикова "Элементы математической логики". О философии в книге нет ни слова. Во введении автор возвращается к антиномиям Зенона: "Идеи Гильберта - начало нового этапа а развитии аксиоматического метода. Однако выяснилось, что в буквальной своей постановке эта программа невыполнима. Даже для решения вопросов о непротиворечивости основных математических дисциплин финитизма Гильберта недостаточно.

Принципы всей математики не могут полностью быть выражены никакой формальной системой. Вопрос о непротиворечивости формальной системы не может быть решен средствами, которые формализуются в той же системе — Но выход за рамки финитизма не уничтожает основной идеи метода, состоящего в формализации тех математических систем, которые подлежат обоснованию.

\108\


Если для решения средств финитизма недостаточно, то для постановки этих неразрешимых им вопросов этих средств вполне достаточно".

Заканчивает свое введение Новиков следующими словами: "Аппарат математической логики нашел применение в вычислительной математике и в технике в связи с конструкцией сложных автоматических устройств".

Имя Гильберта фигурирует в тексте статьи "Метатеория" (БСЭ, 2-е изд., 51-й доп. том. В списке литературы фигурирует 11 имен, ни одного советского. Никакого указания о "растленной, гнусной буржуазной" идеологии.

Гильберт не осуществил полностью свою программу, хотя критическую работу произвел Гёдель: на "ложном, классовом" дереве идеализации созрел снова великолепный плод.

Почему же в списке литературы по "метатеории" нет ни одного советского имени (как и в статьях "семантика" и "синтаксис", в том же томе БСЭ)? После выступления "философского юнги" (как он сам себя называет), А. А. Жданова, эти направления были запрещены, как проявления "растленной буржуазной идеологии", и потому на этом фронте наша наука на несколько лет отстала. Но кадры математиков у нас превосходные, и после 1963 года у нас довольно быстро выправили отставание.

3.23.


Что касается "философского динозавра" Б. Рассела, то сейчас он уже перестал быть "философом-динозавром", так как стал выступать как активный борец за мир.

\109\


Подождем, может быть, скоро Рассела причислят к материалистам: Рассел не скрывает своего воинствующего атеизма.

Кроме того, он резкий противник Платона, но если пользоваться формулой: «бытие определяет сознание», то ясно, что Демокрит с его атомизацией геометрии сводит геометрию к физике, бытие определяет математическое сознание, попытки же математизации физики сводят физику к математике, значит, сознание определяет бытие; Не так-то легко провести границу между материализмом и идеализмом.

3.24.

А. Д. Александров касается еще "интуиционизма", который представляет другую попытку ограничения свободы. Он допускает а математике лишь "интуитивно ясное". По Брауэру, существует столько математик, сколько есть математиков.



По мнению Александрова, интуиционизм не принял почти никто из математиков. Непонятно, как можно совместить "ограничение свободы" и такое анархическое утверждение, что сколько математиков, столько и математик.

{V: Интуиционизм основан на интуиционистской логике, имеющей всего одну «несущественно иную» аксиому по сравнению с классической формальной логикой. И та, и другая логики угрожали формализовать основания математики и «вообще всех наук», но ручки коротки.. О чём парлё?!}

\110\

Более ясное представление можно получить из книжки известного математика Г.ВеЙля "О философии математики"; Вейль тоже относится к интуиционистам. Книжке предпослано предисловие С. Яновской и второе предисловие от переводчика А. Юшкевича. Из этих предисловий мы узнаем, что "наиболее интересным явлением в области современной философии математики безусловно следует признать интуиционизм". Яновская пытается, как это и полагается марксисту, связать кризис математики с эпохой империализма и утверждает, что "между наукой, в муках рождающей диалектический материализм, и философией класса, в устах представителей которого все чаще звучит теперь лозунг "назад к варварству!**, интуиционисты выбрали философию. Они принесли основные органические части живого тела современной математики в жертву своей реакционной установке, в жертву стоящим вне науки метафизическим догматам. Это не исключает правильности отдельных положений интуиционизма, особенно в критической его части, направленной против формально-логических методов в математике".



Но на той же странице оказывается: "пожалуй, привлекать империализм для объяснения возникновения интуиционизма нет оснований. Бели еще в начале текущего столетия большинство математиков, в том числе и столь крупных как Ф.Клейн, были убеждены в том, что работами Кантора, Дедекянда и Вейерштрассв проблема обоснования анализа решена окончательно и бесповоротно, что проблемы иррационального числа, например, больше не существует. Бели такое убеждение распространяется еще и в настоящее время среди подрастающего поколения наших молодых советских математиков - не только студенчества, но и аспирантуры - то работы ВеЙля, во всяком случае, показывают, что вопрос этот еще спорный, что над проблемами числа и континуума еще много и много прядется поработать. Больше того, если такому крупному математику, каким является Вейль, приходится констатировать наличие тупика, в который это обоснование заходит, если он вынужден заговорить поэтому о кризисе основ математики, го это является еще одним прекрасным доказательством невозможности вообще обосновать математику на путях идеализма".

А.Юшкевич также указывает, что кризис основ математики был вызван в значительной мере (не лучше ли сказать - только ими) ростом самих математических теорий, выдвинувших ряд новых и поставивших ряд старых методологических проблем. Идеалистический характер интуиционизма стоит вне сомнений: "Эгот идеализм в философии

\111\

математики полностью согласуется с гуссернством Вейля и с субъективным идеализмом и волюнтаризмом Брауэра, декларированным последним в его докладе в Вене, в котором он, в частности, рассматривает мир как творение нашей воли и утверждает индетерминированность его". Там же из высказываний Брауэра: "Среди математических рассмотрений, навязанных всем людям совокупной волей всего человечества, надо прежде всего назвать предпосылку гипотетического и "объективного пространственно-временного мира". Само собой разумеется, что все существование какой-нибудь каузальной последовательности заключается в том, что она является коррелятом некоторой, вызывающей математические акции, установки человеческой воли; не может быть и речи о каузальной связи мира независимо от человека". Приведя еще несколько высказываний Брауэра, столь же парадоксальных, Юшкевич пишет: **И эта насквозь идеалистическая фантастика представляет собой философскую установку одного из крупнейших математиков современности!-. Из настоящей работы читатель увидит все же, что интуиционизм ставил ряд важнейших вопросов в своей критике формально-логического направления а математике и теории континуума. В этом нет, пожалуй, ничего удивительного. "Когда один идеалист ругает другого, то на этом выигрывает материализм" (Ленин). И значение работ Вейля именно в этой их критической стороне**.



3.25. И эта беглая характеристика интуиционизма позволяет сделать один вывод: во главе стоят крупнейшие математики, которым их идеалистическая философия не помешала проделать важную работу в математике. Вместе с тем, эта три философские школы враждуют друг с другом, или, по крайней мере, развиваются независимо одна от другой. Значит, в одном идеалистическом "лагере" имеется по крайней мере три, так сказать, "подлагеря". При такой междоусобной брани идеалистов, естественно, надо было ожидать, как это и высказал Ленин, что выиграют материалисты. Разовьется мощная философская школа, которая вытеснит идеалистов. Но мы этого не видим: наши материалисты, которым предоставлена полная свобода критики идеалистов и построения материалистической системы математики, ограничиваются более или менее (чаще более, чем менее) грубой бранью и писанием "обезвреживающих" предисловий, а за последние годы и это исчезло, при этом, как правило, исчезает и всякая философская окраска. Получается впечатление, что потерялась всякая связь философии и математики. И до известной степени это верно.

\112\


Всякая наука не развивается монотонно, но, по красивому сравнению академика Несмеянова, бывает работа "в одном этаже", и "переход из одного этажа в другой". Для работы в пределах одного этажа философского обоснования не требуется, но, чтобы проделать переход в новый этаж, требуется отрыв от привычных представлений, пересмотр укоренившихся понятий, полный отрыв от требований обязательного "отображения" внешнего мира. Идеалистическая философия для этого несравненно пригоднее, чем материалистическая, так как она принимает призрачность нашего мира явлений, не зависимо от характера идеалистической философии. Объективный идеализм постулирует существование иного, неприэрачного мира, а субъективный утверждает (в первом приближении), что никакого мира, кроме призрачного, вообще не существует. Понятно, почему творчество идеалистов несравненно разнообразнее и свободнее, чем творчество материалистов. Пробившись в новый этаж, пионер науки создает новую систему плодотворных аксиом, и с этой системой можно уже работать без всякой философии. Поэтому, несмотря на усиленную пропаганду диалектического материализма, это направление среди математиков (ограничимся пока ими) не пользуется распространением даже у нас.

Имеется известное количество несомненных идеалистов, но их уста сомкнуты по независящим обстоятельствам. Большинство равнодушно к философии, а среди действительно квалифицированных математиков (а их у нас вполне достаточно) нашелся только один А.Д.Александров, который выступил с критикой идеализма, да и то, как видно, вовсе неудачно. При желании его бы даже можно обвинить в скрытой пропаганде идеализма и даже религии. Показано разнообразие идеалистических школ, возглавляемых крупнейшими математиками, и даже не упомянуто о существовании в математике материалистических школ, возглавляемых не менее крупными математиками. Нельзя же на одних цитатах из Ленина построить математику- И ссылка на гнев классового общества, запрещающий на Западе выработать материалистическую математику, не может считаться убедительной. Ведь в физике, например, имеются на Западе крупные ученые* материалисты, например, Бернал, а уж про биологов и говорить нечего:

большинство современных биологов - неодарвинисты, безусловно

т. стоящие на линии Демокрита; то, что их у нас называют идеалистами,

имеет совершенно особое объяснение, о котором я писал достаточно.

А кроме того, почему наша блестящая фаланга математиков, удивляющая весь мир своими успехами, не выработала до сих пор материалистической философии математики? Почему так затянулись

\113\

роды, долженствующие дать человечеству диалектический материализм? Со времени высказывания Ленина прошло более полувека. Надеюсь значительно позже добраться до этого вопроса, а пока нужно со всей уверенностью сказать, что единственное более или менее развернутое выступление против великого математического идеализма А.Д.Александрова есть просто порождение сталинского безвременья. Оно и появилось в 1951 году, в пору полного подавления всякой свободной мысли.



3.26. В разобранных выше выступлениях наших марксистских математиков против математического идеализма обращает на себя внимание один пункт: игнорирование диалектики. Юшкевич в критике интуиционизма считает, что голое отрицание интунционистами закона исключенного третьего носит совершенно не диалектический характер. Это высказывание неясно. Утверждает ли Юшкевич, что всякое отрицание закона исключенного третьего противоречит диалектике или только "голое** отрицание, и чем голое отрицание отличается от не голого». Но хорошо известно, что диалектическая логика и характеризуется именно тем, что отрицает закон исключенного третьего. Но диалектику наши марксисты подзабывают в в другом смысле. Вейль н многие другие математики высказываются иногда о кризисе основ математики (в других быстро развивающихся науках мы часто слышим подобные высказывания).

Слово "кризис" Наши марксисты всегда понимают как нечто отрицательное, свидетельствующее о слабости позиции. Для марксистов это понятно: ваш общественный строй гордится тем, что он ие переживает кризисов перепроизводства (правда, не столь редки кризисы недопроизводства, но об этом предпочитают умалчивать), которые характерны для капиталистического мира. Да, конечно, в экономической жизни страны кризисы - вещь нежелательная, и надо стремиться построить такой строй, в котором экономических кризисов не наблюдалось бы. Но являются ли идеологические кризисы показателем нездорового состояния данной отрасли знания? По-моему, нет. Это только иное название тому, что Гегель называл накоплением противоречий, антитезисом. Это - закономерный этап развития идейной системы, приступ к "переходу в новый этаж", выражаясь словами Несмеянова. Создается какое-то крупное идейное построение. Оно служит плодотворным руководством к действию и обогащает науку, но с течением времени выясняется, что это не "окончательная истина в последней инстанция" (такие истины, как известно, диалектическим мышлением совершенно отрицаются), а только

\114\


Каталог: resurs -> conspcts -> all2014
all2014 -> Полный текст книги хокен П., Ловинс э-, Ловинс X
all2014 -> Наши в зарубежном авиастроении doc
all2014 -> Чирков Юрий Георгиевич. Дарвин в мире машин. Изд. 2-е, испр и доп. М.: Ленанд, 2012. 288с
all2014 -> Книга посвящена обоснованию природы языкового знака. Не раскрыв сущность языкового знака, не познать и механизм взаимодействия языка с мышлением, речью, текстом, действительностью
all2014 -> В. Г. Шухов выдающийся инженер и ученый
all2014 -> Посвящается
all2014 -> Концептуальный анализ и проектирование Введение в аппарат ступеней и его применение Концепт Москва 2010 Серия «Концептуальный анализ и проектирование»
all2014 -> Чаянов Б. А. Воспоминания о Физтехе


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18




©dereksiz.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет