А. К. Ершина, А. Шақарбекқызы, Н. Байтұрсын

Егер
S_N
N  ,

онда S_N
(1.3)
өзінің тұрақты  шекті мәніне

ұмтылады:
^{ } lim ^SN N 

(1.4)

 ² шамасы өлшеулер нәтижелерінің дисперсиясы деп
аталады. Барлық өлшеулер нәтижелерін интервалдарға бөлейік.

1. 
   - интервал-
   
2. 
   - интервал-
   
3. 
   - интервал-
   

k  интервал-
[x_min  x_min  L[
[x_min  L x_min  2L[
[x_min  2L  x_min  3L[
[x_min  k  1L x_min  kL[

Егер абсцисса өсінің бойына интервалдар нөмерін, ал ордината өсінің бойына нәтижелер берілген интервалдарға сәйкес келетін өлшеулер санын n_i  ді салсақ, онда 1.1-суретте көрсетілген гистограмма деп аталатын өлшеулер санының интервалдар бойынша таралуының тәжірибелік графигін

аламыз. Өлшеулер саны көп болғанда n_i / N
қатынасы өлшеніп

отырған шама мәнінің L-ге тең берілген интервалда байқалу

ықтималдығын сипаттайды. Егер
n_i / N
шамасын
L  ге

бөлсек, онда

y_i 
n
ⁱ шамасы бірлік интервалға сәйкес келетін

NL

орайлы жағдайлардың салыстырмалы санын сипаттайды. y_i
үшін тұрғызылған диаграмма келтірілген гистограмма деп аталады. Оның түрі 1.2 - суретте көрсетілген.
Енді өлшеулер саны өте көп болсын деп қабылдайық.

Интервал қадамы
L  ді аз етіп алуға болады. (өлшеуіш

прибордың сезімталдығы жеткілікті деп қабылдаймыз), бірақ бәрібір әрбір интервалға көп өлшеу саны сәйкес келеді. Бұл

болады. Егер келтірілген гистограмма орнына
y  f x

тәуелділігі графигін тұрғызсақ, таралу қисығы деп аталатын біркелкі үздіксіз қисық (1.2 - сурет) аламыз. Бұл қисық x үздіксіз өзгергенде бірлік интервалға сәйкес келетін n_i өлшеулер
санының үлесін анықтайды. f x функциясы таралу
тығыздығы деп аталады. Оның мағанасы бойынша f xdx

көбейтіндісі (мұндағы
dx 
тәуелсіз айнымалының

дифференциалы)

10. 
     x  dx
    

интервалына сәйкес келетін
n_i / N

толық өлшеулер санының үлесін анықтайды. Басқаша айтсақ,
f xdx дегеніміз өлшеніп отырған шаманың жеке кездейсоқ мәнінің x  x  dx интервалда байқалу ықтималдығы.

1. 
   - сурет. Өлшеулер санының интервалдары бойынша
   

таралуы (гистограмма).

f x  ¹ 2
x_i  x²

e
2 ²

, (1.5)

мұндағы  ² жоғарыда айтылғандай дисперсия деп аталады, 
өлшеу нәтижелерін орта арифметикалық мәнінен ауытқу немесе орта квадраттық қателік деп аталады.
Гаусс функциясы нормаланған, яғни f x мына теңдікті
қанағаттандырады:

жекеленген өлшеулердің нәтижелері мынадай
x₁ , x₂ ,...x_n

болсын. Бұлардың орта арифметикалық мәні мына формуламен анықталады:
1 ^{n x}₁ ^x₂ ^xn

 x  _ x_i  

N N N
iI
 ... 

N

(1.7)

 x
Демек шаманың дисперсиясы  ²
былай жазылады:

_{2 } 2 _ 2 _ 2 _ 2

 x
 _x  _{N 2}  _{N 2}  ...  _{N 2}  _N
(1.8)

яғни
Осыған ұқсас:
  ^ . (1.9)

S  
^SN
 x 


Сонымен орта

. (1.10)

арифметикалық шаманың орта

квадраттық қателігі жеке нәтиженің орта квадраттық қателігін өлшеулер санының квадрат түбіріне бөлгенге тең. Бұл тұжырым өлшеулер санының артуына сәйкес дәлдіктің артуы туралы фундаменталды заңды айқындайды.

Шаманың шын мәнінің
 x  x  x  x

интервалда жату ықтималдығын сенімділік ықтималдығы (сенімділік коэффициенті, сенімділік), ал интервалдың өзін – сенімділік интервалы деп атайды. N -нің мәні жеткілікті үлкен

болғанда
 x   _x
интервалы үшін
a  0,68, ал

 x  2 _x
интервалы үшін
a  0,95,
сонымен қатар

 x  3 _x интервалы үшін a  0,997.
х - тің өлшенген мәнінің , оның шын мәні x₀ -ге жуықтау
сипаттамасы  өлшеніп отырған шаманың физикалық табиғатымен және өлшеу тәсілін анықтайтын физикалық және конструктивтік принциптермен анықталады. Сондықтан өлшеу санын шексіз көбейту дәлдікті көп арыттырмайды.

6. 
   Өлшеу саны шексіз арттырудың мағанасы болмағандықтан, эксперимент жүргізгенде тәжірибелер белгілі санмен шектелуі қажет. Алайда, бұл жағдайда берілген
   

сенімділік a  ның мәні үшін   ның үлесімен
(масштабымен) өлшенген сенімділік интервалының мәні аз болады. Демек, өлшеу санына байланысты сенімділік қалай өзгереді деген сұрақ туады? Бұл байланыс күрделі және элементар функциялармен сипатталмайды.
Сенімділік интервалын ( S _{ x} масштабында) a және N -
ге байланысты анықтайтын коэффициенттерді Стьюдент

коэффициенттері деп атайды. Бұл коэффициенттер
^taN
деп

белгіленеді және арынаулы таблицалардан табылады. Сенімділік интервалын x мына формуламен анықтаймыз:
x  t_{a, N} .S_{ x } . (1.11)

Бұл жағдайда, соңғы нәтиже мына түрде жазылады: a 
белгілі мәні үші
нің

x  x  x . (1.12)

Егер a  0,68 болса t_{ , N}

• 
  1 , ал
  

N   болса t_{ , N}
 1.

Эксперименттің нәтижесінің сенімділік интервалы әдетте a  0,95 сенімділік ықтималдықпен көрсетіледі.

Егер a  0,95 болса t_{a, N}

• 
  2, ал
  

N   болса t_{a, N}

 2.

7. 
   Эксперименттің дәлдігін шамалу үшін оның салыстырмалы қателігін есептеу керек. Өлшенген шаманың шын мәнінің үлесімен өрнектелген шаманы салыстырмалы
   

қателік деп атайды:   x /  x 
Оны процент арқылы жазуға болады:

_{ } x
 x 
.100 ^{% . (1.13)}

Өлшем санына және сенімділік ықтималдық мәніне сәйкес Стьюдент коэффициенттері 1.1-кестеде көрсетілген.

3. 
   
   
   жүктеу/скачать 0.95 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: