Мақсаты: Функцияның экстремумдары, функцияның монотондылығы туралы ұғым. Функцияның кесiндiдегi ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табу. Екінші ретті туындыны қолдану. Иілу нүктелері.
1. Функцияның бiр қалыптылығы.
2. Функцияның кризистiк нүктелерi.
3. Қажеттi және функцияның экстремумының жеткiлiктi шарттары.
4. Майыстырудың нүктелерi, функцияның томпақтық және ойыстығы.
Дәріс сұрақтары:
Функцияның монотондығы.
Функцияның критикалық нүктелері.
Функцияның экстремумның қажетті және жеткiлiктi шарты.
Иілу нүктелері, функцияның дөңестігі және ойыстығы.
Дәріс тезисі:
Функцияның өсуi және кемуi
Егер функциясы интервалында дифференциалданатын болса және барлық үшiн орындалса, онда ол осы интервалда кемiмейтiн (өспейтiн) болады.
Егер функциясы интервалында дифференциалданатын болса және барлық үшiн орындался, онда ол осы интервалда өспелi (кемiмелi) болады.
Функцияның максимумы және минимумы
Егер нүктесiнiң аймағында жататын барлық тер үшiн теңсiздiгi орындался, онда нүктесi функция- сының максимум (минимум) нүктесi деп аталады.
Егер функциясының нүктесiнде экстремумы бар және дифференциалданатын болса, онда
теңдеуiн қанағаттандыратын нүктелердi функцияның кризистiк нүктелерi деп атайды.
1-теорема. (экстремумның бар болуының жеткiлiктi шарты) функциясы кризистiк нүктенiң аймағында үзiлiссiз және дифференциалдана-тын болсын.
Егер функцияның бiрiншi туындысының таңбасы кризистiк нүктенiң аймағында осы нүктенiң сол жағынан оң жағына өткенде ”+“ тен ”–“ке өзгерсе, онда нүктесiнде функцияның максимумы бар болады. Егер кризистiк нүктенiң аймағындағы функцияның бiрiншi туындысының таңбасы осы нүктенiң сол жағынан оң жағына өткенде «-»тен «+»ке өзгерсе, онда нүктесiнде функцияның минимумы бар болады.
Егер функциясының таңбасы -ден өткенде өзгермесе, онда нүктесiнiң аймағында функцияның экстремумы жоқ болады.
Функцияның экстремумын табу үшiн мынадай ереженi қолданған дұрыс:
тi табамыз.
теңдеуiнiң түбiрлерiн табамыз.
Табылған түбiрлердiң (кризистiк нүктелердiң) әр қайсысының оң және сол жақтарындағы -тiң таңбаларын анықтаймыз да жоғарыдағы 1-теорема бойынша экстремумдарды табамыз.
Экстремум нүктелерiнде функцияның мәнiн есептеймiз.
2-теорема. Егер теңдеуiнiң түбiрi және болса, онда нүктесiнде функциясы минимумын (максимумын) қабылдайды.
Достарыңызбен бөлісу: |
