Сызықтық дифференциялдық жүйені шешу әдістері
Дифференциалдық теңдеулер жүйесін
(1)
нормалдық түрде берілген деп атайды. Осы нормалдық теңдеулер жүйесінің шешу әдістерін қарастырамыз.
І. Арылту (белгісіздерді біртіндеп жою) әдісі. Бұл әдіс бойынша (1) теңдеулер жүйесін бір -ретті теңдеуге түрлендіреміз. Осы мақсатпен бірінші теңдеуді ( болғандағы) біртіндеп рет дифференциалдаймыз және әрбір туындыларын олардың осы жүйедегі қалған теңдеулердегі мәндерімен алмастырып төмендегі жүйені аламыз:
(2)
(2) жүйенің алғашқы теңдеуінен анықтап, оларды соңғы теңдеуге қойсақ -ретті бір дифференциалдық теңдеуді аламыз.
Бұл теңдеуді интегралдау бізге белгілі (7-лекцияны қара)
Енді рет дифференциалдаймыз: , , .
Сонан соң (2) теңдеуден анықтаймыз:
.........................
1-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңдер
(3)
Шешуі: (3) жүйедегі бірінші теңдеуді дифференциалдаймыз
(4)
Екінші теңдеуден
онда (4) теңдеу
(5)
Бұл коэффициенттері тұрақты біртекті емес теңдеуді (9-лекцияны қара) шешу әдісі белгілі, (5) ке сәйкес келетін біртекті теңдеу
(5/)
(5) сипаттаушы теңдеуі
Демек,
2. Біртекті емес (5) теңдеудің жалпы шешімін тұрақтыны варияциялау әдісімен (4-лекцияны қара ) табамыз.
(6)
Белгісіз , функцияларды
жүйеден анықтаймыз:
немесе
пен (6) формулаға қоямыз:
Енді (3) теңдеудің біріншісінен табамыз:
немесе
(7)
Достарыңызбен бөлісу: |
